WB Board Class 12 Mathematics Question Paper 2026 PDF with Solutions - Available

Concept:
তিনটি ভেক্টর একই সমতলে অবস্থিত (coplanar) হলে তাদের scalar triple product শূন্য হয়। \[ [\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}] = \begin{vmatrix} \alpha_x & \alpha_y & \alpha_z
\beta_x & \beta_y & \beta_z
\gamma_x & \gamma_y & \gamma_z \end{vmatrix} = 0 \]
অর্থাৎ, এই determinant শূন্য হলে ভেক্টর তিনটি একই সমতলে থাকে।

Step 1: ভেক্টরগুলোর উপাংশ লিখি। \[ \vec{\alpha} = (a, a, c), \quad \vec{\beta} = (1, 0, 1), \quad \vec{\gamma} = (c, c, b) \]

Step 2: Scalar triple product শূন্য ধরি। \[ \begin{vmatrix} a & a & c
1 & 0 & 1
c & c & b \end{vmatrix} = 0 \]

Step 3: Determinant প্রসারণ করি।
প্রথম সারি বরাবর প্রসারণ করলে: \[ = a \begin{vmatrix} 0 & 1
c & b \end{vmatrix} - a \begin{vmatrix} 1 & 1
c & b \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} 1 & 0
c & c \end{vmatrix} \]

Step 4: Minor গুলো হিসাব করি। \[ = a(0\cdot b - 1\cdot c) - a(1\cdot b - 1\cdot c) + c(1\cdot c - 0\cdot c) \]
\[ = a(-c) - a(b - c) + c^2 \]

Step 5: সরলীকরণ। \[ = -ac - ab + ac + c^2 = c^2 - ab \]

Step 6: Coplanar শর্ত ব্যবহার করি।
যেহেতু ভেক্টরগুলো coplanar, \[ c^2 - ab = 0 \quad \Rightarrow \quad c^2 = ab \] Quick Tip: তিনটি ভেক্টর coplanar কিনা দ্রুত যাচাই করতে scalar triple product ব্যবহার করো। Determinant শূন্য হলে ভেক্টরগুলো একই সমতলে থাকে।

Concept:
কোনো ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর পেতে হলে প্রথমে ভেক্টরটির মান (magnitude) নির্ণয় করতে হয়।
একক ভেক্টর, \[ \hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \]
অর্থাৎ, প্রদত্ত ভেক্টরকে তার মান দ্বারা ভাগ করলে একক ভেক্টর পাওয়া যায়।

Step 1: প্রথমে \( \vec{a} + \vec{b} \) নির্ণয় করি। \[ \vec{a} + \vec{b} = (4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) \] \[ = (4+2)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (1+1)\hat{k} \] \[ = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k} \]

Step 2: ভেক্টরটির মান নির্ণয় করি। \[ |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} \] \[ = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7 \]

Step 3: একক ভেক্টর নির্ণয় করি। \[ Required unit vector = \frac{6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}}{7} \]
\[ = \frac{6}{7}\hat{i} - \frac{3}{7}\hat{j} + \frac{2}{7}\hat{k} \] Quick Tip: কোনো ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর পেতে হলে প্রথমে ভেক্টরের মান বের করো, তারপর ভেক্টরটিকে তার মান দ্বারা ভাগ করো।

Concept:
দুটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হলে তাদের direction vector-এর ডট গুণফল শূন্য হয়। \[ \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 0 \]

Step 1: প্রথম সরলরেখার direction vector নির্ণয় করি।
সমীকরণ, \[ \frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{-2\lambda} = \frac{z-2}{0} \]
অতএব direction vector, \[ \vec{d_1} = \langle 3, -2\lambda, 0 \rangle \]

Step 2: দ্বিতীয় সরলরেখার direction vector নির্ণয় করি। \[ \frac{x-1}{1} = \frac{2y+3}{3\lambda} = \frac{z+5}{2} \]
এখানে, \[ \frac{2y+3}{3\lambda} = t \Rightarrow y = \frac{3\lambda t - 3}{2} \]
অতএব y-এর সহগ হবে \( \frac{3\lambda}{2} \)

সুতরাং direction vector, \[ \vec{d_2} = \left\langle 1, \frac{3\lambda}{2}, 2 \right\rangle \]

Step 3: লম্ব শর্ত প্রয়োগ করি (Dot product = 0)। \[ \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 3(1) + (-2\lambda)\left(\frac{3\lambda}{2}\right) + 0(2) \]
\[ = 3 - 3\lambda^2 \]

Step 4: শূন্যের সমান করি। \[ 3 - 3\lambda^2 = 0 \Rightarrow 3\lambda^2 = 3 \Rightarrow \lambda^2 = 1 \]

Step 5: মান নির্ণয়। \[ \lambda = \pm 1 \] Quick Tip: দুটি সরলরেখা লম্ব কিনা যাচাই করতে direction vector বের করে ডট গুণফল শূন্য করলেই দ্রুত সমাধান পাওয়া যায়।

Concept:
যদি কোনো সমতল দুইটি বিন্দুর সংযোগকারী রেখাংশকে কোনো অনুপাতে বিভক্ত করে, তবে section formula ব্যবহার করা হয়।
ধরি, সমতলটি বিন্দু \( A(x_1,y_1,z_1) \) ও \( B(x_2,y_2,z_2) \) কে \( m:n \) অনুপাতে বিভক্ত করছে।
তাহলে বিভাজন বিন্দু, \[ P\left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n}\right) \]
এই বিন্দুটি সমতলের সমীকরণ সন্তুষ্ট করবে।

Step 1: প্রদত্ত বিন্দু ধরি। \[ A = (2,1,5), \quad B = (3,4,3) \]

Step 2: বিভাজন বিন্দু ধরি।
ধরি, সমতলটি রেখাংশকে \( m:n \) অনুপাতে বিভক্ত করছে।
তাহলে, \[ P = \left( \frac{3m+2n}{m+n}, \frac{4m+n}{m+n}, \frac{3m+5n}{m+n} \right) \]

Step 3: সমতলের সমীকরণে বসাই। \[ 2x + 2y - 2z + 1 = 0 \]

মান বসিয়ে, \[ 2\left(\frac{3m+2n}{m+n}\right) + 2\left(\frac{4m+n}{m+n}\right) - 2\left(\frac{3m+5n}{m+n}\right) + 1 = 0 \]

Step 4: ল.সা.গু \( (m+n) \) নিয়ে সরল করি। \[ \frac{2(3m+2n) + 2(4m+n) - 2(3m+5n)}{m+n} + 1 = 0 \]
\[ \frac{6m+4n + 8m+2n - 6m -10n}{m+n} + 1 = 0 \]
\[ \frac{8m - 4n}{m+n} + 1 = 0 \]

Step 5: সরলীকরণ। \[ \frac{8m - 4n + (m+n)}{m+n} = 0 \]
\[ \frac{9m - 3n}{m+n} = 0 \Rightarrow 9m - 3n = 0 \]
\[ 3m = n \Rightarrow m:n = 1:3 \]


% Final Answer
Answer: সমতলটি রেখাংশকে \( 1:3 \) অনুপাতে বিভক্ত করে। Quick Tip: সমতল যদি দুই বিন্দুর সংযোগকারী রেখাংশকে বিভক্ত করে, তবে section formula ব্যবহার করে বিভাজন বিন্দু বের করে সমতলে বসালেই অনুপাত পাওয়া যায়।

Concept:
ত্রিকোণমিতিক সমাকলনে সাধারণত conjugate ব্যবহার করে সরল করা হয়।
এখানে \( 1+\sin x \) কে সরল করতে আমরা \( \frac{1-\sin x}{1-\sin x} \) দ্বারা গুণ করব।

Step 1: Rationalization করি। \[ \int \frac{dx}{1+\sin x} = \int \frac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} dx \]
\[ = \int \frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x} dx = \int \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} dx \]

Step 2: ভাগ করে লিখি। \[ = \int \left(\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x}\right) dx \]
\[ = \int (\sec^2 x - \sec x \tan x)\, dx \]

Step 3: সমাকলন করি। \[ \int \sec^2 x\, dx = \tan x \quad এবং \quad \int \sec x \tan x\, dx = \sec x \]

অতএব, \[ \int \frac{dx}{1+\sin x} = \tan x - \sec x + C \]

Step 4: পরিচিত রূপে লিখি।
আমরা জানি, \[ \tan x - \sec x = \tan\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \]

অতএব, \[ \int \frac{dx}{1+\sin x} = \tan\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + C \]

Step 5: তুলনা করি।
প্রদত্ত, \[ \tan\left(\frac{x}{2} + a\right) + b \]

তুলনা করে পাই, \[ a = -\frac{\pi}{4}, \quad b = C \]

যেহেতু \( b \) একটি ধ্রুবক, তাই সাধারণভাবে \( b = 0 \) ধরা যায়।


% Final Answer
Answer: \( a = -\frac{\pi}{4}, \quad b = 0 \) Quick Tip: \( \int \frac{1}{1+\sin x} dx \) ধরনের সমাকলনে conjugate দিয়ে সরল করলে সহজেই standard ফলাফল পাওয়া যায়।

Concept:
যখন কোনো সমাকলনে \( |x| \) থাকে, তখন তাকে দুই ভাগে ভাগ করতে হয়। \[ |x| = \begin{cases} -x, & x < 0
x, & x \ge 0 \end{cases} \]

Step 1: সীমা ভাগ করি। \[ \int_{-1}^{1} e^{|x|} dx = \int_{-1}^{0} e^{-x} dx + \int_{0}^{1} e^x dx \]

Step 2: প্রথম অংশ সমাকলন। \[ \int_{-1}^{0} e^{-x} dx = \left[-e^{-x}\right]_{-1}^{0} \] \[ = (-e^0) - (-e^1) = -1 + e \]

Step 3: দ্বিতীয় অংশ সমাকলন। \[ \int_{0}^{1} e^x dx = \left[e^x\right]_{0}^{1} = e - 1 \]

Step 4: যোগ করি। \[ (-1 + e) + (e - 1) = 2e - 2 \]


% Final Answer
Answer: \( 2(e - 1) \) Quick Tip: \( |x| \) যুক্ত definite integral হলে ঋণাত্মক ও ধনাত্মক অংশ আলাদা করে সমাকলন করলেই দ্রুত সমাধান পাওয়া যায়।